严格电磁场仿真的方法

光与掩模或晶圆的形貌特征的相互作用可以用麦克斯韦(Maxwell)方程组来描述。通常,掩模和晶圆上的材料都是非磁性和各向同性的。掩模和晶圆都不包含电流源。因此，麦克斯韦方程组可以写成:

这些方程连接空间和时间t相关的电e=(E，E，E2)和磁h=(H，H，H)矢量场。常数eo、o分别为自由空间的介电常数和磁导率。e和分别表示仿真域中与材料和位置相关的介电常数和电导率，它们包含所考虑的掩模或晶圆的几何形状信息。

EMF仿真方法通过适当的数值方法求解给定几何形状、材料参数以及边界和人射场条件的麦克斯韦方程组。人射场是照到掩模或晶圆上的平面波。有限尺寸仿真区域的边界条件通常选择在横向上是周期性的图形，即垂直于掩模和晶圆平面(x和y)。垂直方向(z)上的透明边界条件确保没有光反射回人射光侧或从晶圆侧没有反射光。

不同的EMF仿真方法已被用来描述光刻中掩模和晶圆的光散射。光刻仿真中最流行的方法是时域有限差分(FDTD)法和波导法(Waveguide),这将在下节中介绍。此外,有限元方法(FEM)[2-4]、有限积分技术(FIT)[5]和伪光谱时城(PSTD)方法[6]也已用于光刻仿真。这些方法的详细信息可以在本章引用的参考文献中找到。

一般而言,麦克斯韦方程组耦合了电场和磁场的所有六个分量,描述3D散射问题需要求解完整的麦克斯韦方程组。二维(2D)散射问题为其一个重要的特例,其六个耦合场分量的完整麦克斯韦方程组可解耦合为三个场分量的两个独立的微分方程组。如果人射波的几何形状和分量在一个横向方向上是常数，那么就是这种情况。假设y方向的几何形状和场不变,方程(9-1)和方程(9-2)可以改写为两个解耦的微分方程组。

这些方程描述了TE和TM偏振光沿y方向的线空图形的衍射。这种2D衍射问题的数值解决方案比完整的3D情况所需要的计算资源更少。以下部分中的大多数示例和解释都是针对此类2D衍射问题给出的,其对一般3D案例的扩展可以在引用的文献中找到。

9.1.1 时域有限差分法

时域有限差分(FDTD)方法的基本思想是将方程(9-1)和方程(9-2)随着时间进行积分[7]。数值积分是在不同的电场和磁场分量的特殊交错网格进行的。在这种交错网格上,TE方程(9-5)的有限差分公式可表达为

方程(9-7)和方程(9-8)提供了电场和磁场分量随时间的更新方程。它们描述了基于前一时间m-1中的场分量计算时间m处的电场和磁场分量。磁场分量指数中的1/2表示电场分量和磁场分量之间的时间交错。对于2DTM偏振情况和一般3D情况，可以推导出类似的表达式[8]。场分量在空间和时间上的交错保证了所获得的解也满足剩下的两个麦克斯韦方程(9-3)和方程(9-4)。

FDTD在许多实际案例中的应用需要一些额外的技巧，包括用于强吸收材料建模的Luebbers方法[9]、引人完美匹配层对透明边界条件的有效建模方法[10]，以及引人仿真域中有效电磁场激发的总/散射场概念。Taflove[8]在其书中解释了所有这些技巧以及有关FDTD在电磁场仿真中实施和应用的许多其他细节。Alfred Wong[11]开创了FDTD法在光刻掩模光衍射的严格仿真中的应用。

图9-2为光强度相对于标称FDTD积分时间的FDTD的仿真结果。掩模结构的几何形状如图9一2左上图所示。光从所示区域的顶部人射,在标称积分时250间的10%处,人射光已到达交替型PSM的蚀刻沟槽,部分光从沟槽的底部界面反射并产生驻波图形。在标称仿真时间的15%时,传播的光已到达玻璃衬底的底面,玻璃/铬界面处的高反射会在掩模衬底的相应区域产生强烈调制的驻波图形,玻璃/空气界面上方的驻波图形不太明显。在标称仿真时间的15%之后,光开始在掩模下方的空气空间中传播。在标称积分时间内,光强度已达到稳定状态,掩模附近的近场强度分布则不再变化。当达到这种稳定状态时,可以提取掩模的透射近场并用于进一步的成像仿真。

FDTD方法是一种空间域方法，所考虑图案的几何形状必须用等距网格来描述，如图9-3左图所示。这种等距网格和用此表示的掩模几何图形限制了所获得结果的精确性。亚像素技术[12]和网格的局部细化[13]被提出用以减少仿真结果的离散化误差。

FDTD是一种非常灵活的方法，可以应用于几乎任意的几何形状和人射场条件，因为其相对容易被改写以满足不同的应用需求。FDTD的精度取决于几个数值参数:FDTD网格的空间离散化 x(=y=z)、积分时间以及边界条件和色散关系的数值公式中使用的其他参数。FDTD的数值计算量与所考虑的仿真区域的大小成线性比例。

9.1.2波导法

波导法解决了空间频域固定波长单色光的电磁场衍射问题。电磁场和所考虑的几何形状以傅里叶级数展开，这个过程产生了一个大体系的线性方程组,它描述了仿真区域内场的傅里叶分量的传播和耦合，产生的电磁场是通过解人射场方程组获得的。例如，波导法的详细数学公式可以参见Lucas等人的文章[14]。

波导法与严格耦合波分析(RCWA)几乎完全相同，这两种方法都是在20世纪80年代初期独立提出的(RCWA[15]、波导法[16)，并在不同的领域中发展起来。RCWA主要用于分析各种应用的衍射光栅,而波导法最初设计用于光刻掩模和晶圆上图形微成像的精确建模。傅里叶模态法(FMM)是一种类似的方法，但它沿第三维度z方向使用了额外的傅里叶展开。本章后的参考文献[17]对这类方法进行了全面的回顾。因为本书针对的读者主要是对光刻感兴趣的人，所以接下来的讨论将使用波导法术语。事实上,FMM/RCWA发展背后的许多想法也被应用于波导法[18.19]。

与在空间域中计算光衍射的FDTD不同，波导法是在空间频域中进行的。此外,波导法求解麦克斯韦方程组的时间谐波形态,采用了明确的时间依赖系:

在切片s内针对未知电磁场系数生成线性方程。该方程组将有限数量的傅里叶展开系数的解用于构造传递矩阵，该矩阵将切片的上下边界处的场分量连接起来。传递矩阵方法的推广得到的矩阵为散射问题提供了波导法的解决方案。一般情况下，波导法的实现包括引人特殊场势[14)和针对所需的傅里叶阶数的提高收敛性的方法[20.21]。

图9-4显示了二元铬掩模的仿真透射近场，图中的曲线对应不同数量的波导阶数或电磁场傅里叶扩展系数。波导阶数(wgOrder)指定了正负方向上的扩展系数的数量。例如,波导阶数wgOrder=10涵盖了从-10~+10的傅里叶展开。近场的正确表示需要相对于TE偏振照明更多的TM偏振波导阶数。更详细的研究表明，TM偏振照明的附加傅里叶展开系数仅用于正确表示更明显的倏逝波(有关倏逝波和潜在应用的讨论,请参见7.3.1节)。对于远场计算的wgOrder和典型光刻掩模,波导法的收敛分析表明TE和TM 偏振照明之间并无显著差异。

如本例所述，波导法的仿真精度取决于场的傅里叶展开阶数或波导阶数。所需的波导级数取决于所使用的波长入、掩模周期(掩模尺度)以及最小/最大折射率与相关材料的消光值之间的差异。获得良好精度的经验法则是:

波导法的计算时间和内存要求由波导阶数和非同质切片的数量决定。在大多数实际相关案例中,与FDTD相比,波导法对单色波时间相关性的正确表示，以及切片内正确几何的描述为光刻问题提供了卓越的仿真性能。两种方法之间的详细比较可参见本章后的参考文献[22]。

波导法标准公式的一个缺点是它所需的计算量缩放与所考虑的仿真域的大小有关,尤其是对于3D仿真。通常,FDTD与所考虑的仿真域在x和y方向的扩展成线性比例。相比之下，波导法与wgOrderX3xwgOrderY成比例。这里wgOrderX和wgOrderY分别是x和y方向所需的波导阶数,并且与相应的掩模大小或周期成正比[见方程(9-10)]。这种不利的计算量缩放关系可以通过9.2.5节中描述的分解方法和参考资料实现部分的避免。